Ήταν γιος του Παναγιώτη Δέλλιου, φημισμένου σαντουρίστα σε όλη τη Μικρά Ασία με το παρωνύμιο Μαύρος Γάτος και ανιψιός του λαϊκού βιολιστή Μιχάλη Δέλλιου. Γεννήθηκε το 1912 στη Σμύρνη. Ήρθε στηνΕλλάδα το 1920 κι εγκαταστάθηκε οικογενειακώς στη Δραπετσώνα.

Από μικρός άρχισε να ασχολείται με την κιθάρα, ενώ το μπουζούκι το έπιασε για πρώτη φορά στα χέρια του γύρω στο 1930, με την προτροπή του Μάρκου Βαμβακάρη. Το 1934, μαζί με τον Μάρκο Βαμβακάρη, τον Στράτο Παγιουμτζή και τον Γιώργο Μπάτη δημιούργησαν την πρώτη επίσημη ρεμπέτικη κομπανία στην Ελλάδα. Η “Τετράς η ξακουστή του Πειραιώς”, όπως ονομάστηκε, ξεκίνησε τις εμφανίσεις της το καλοκαίρι του 1934 στη Μάντρα του Σαραντόπουλου, στην Ανάσταση του Πειραιά. Εκεί, ο Ανέστος παρουσίασε τα πρώτα του τραγούδια, τα οποία μπήκαν στη δισκογραφία τα επόμενα χρόνια. Ανάμεσά τους και «Ο πόνος του πρεζάκια», ένα τραγούδι προφητικό για τον ίδιο.

Ο Δελιάς παρασύρθηκε στην ηρωίνη από τη φιλενάδα του Κούλα με το παρατσούκλι Σκουλαρικού, γυναίκα από τις κακόφημες συνοικίες των Βούρλων. Σύμφωνα με Παρά τις επίμονες προσπάθειες των φίλων του, δεν κατάφερε να απεμπλακεί. Μάλιστα το 1938 εξορίστηκε στην Ίο ως τοξικομανής. Με την προτροπή όμως του επίσης εξόριστου στην Ίο Γενίτσαρη θα ξεμπλέξει από την ηρωίνη. Όταν γύρισε από την εξορία πήγε με τη Νταίζη Σταυροπούλου στη Θεσσαλονίκη. Δούλεψε εκεί για μικρό διάστημα και τελικά επέστρεψε στην Αθήνα και στην ηρωίνη. Με τη βοήθεια του Παγιουμτζή και του Γκόγκου κατάφερε και πάλι να την κόψει, αλλά για λίγο.

Ο Ανέστης Δελιάς δεν ηχογράφησε πολλά τραγούδια, διότι όπως ο Γιώργος Μπάτης, ο Βαγγέλης Παπάζογλου, ο Γιοβάν Τσαούς και άλλοι ρεμπέτες σταμάτησαν το 1937, όταν ο Ιωάννης Μεταξάς επέβαλε λογοκρισία, την οποία δεν μπορούσαν να ανεχθούν.